3.1.5 Equivalencias Lógicas

Equivalencias Lógicas

Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.

Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción

A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.

Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción

Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs.” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.

Si dos fórmulas lógicas son equivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.

p	Q	r	¬q	¬p	p → ¬q	¬p ∨ r	(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)	¬ p ∨ ¬q	¬p ∨ ¬q ∨ r
V	V	V	F	F	F	V	V	F	V
V	V	F	F	F	F	F	F	F	F
V	F	V	V	F	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	V	F	V	V	V
F	V	V	F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V	V	V

EJEMPLO

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción

A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p (qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.

Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.

Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción

Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs.” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.

Si dos fórmulas lógicas son equivalentes entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.

(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)          ¬p ∨ ¬q ∨ r

Donde se puede observar que la última y la antepenúltima columnas son iguales. 

Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma.

3.1.4 Tautologías, contradicción y Contingencia)

Tautología

Son aquellas fórmulas que son ciertas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene

Contradicción

Son aquellas fórmulas que son falsas para cualquier valoración de los símbolos proposicionales que contiene

Contingencia

 Son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad o falsedad depende de la valoración de los símbolos proposicionales que contiene.

3.1.3 Tablas de verdad

Tablas de Verdad

Para empezar debemos de conocer los Símbolos de las conectivas:

NEGACIÓN: ¬,                  se lee “No es cierto que…”

CONJUNCION: ^,             se lee “… y…”

DISYUNCION: v,             se lee “… o…

CONDICIONAL: →,         se lee “si… entonces…”

BICONDICIONAL: ↔,     se lee “… si y solo si…”

La negación es una conectiva lógica que transforma un enunciado en su opuesto lógico y se le llama conectiva singular porque se aplica sobre un solo enunciado

Tabla de Verdad Negación

La conjunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes son verdaderos

Tabla de verdad conjunción

La disyunción es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando al menos uno de sus enunciados componentes es verdadero, siendo falsa cuando ambos son falsos

Tabla de Verdad Disyunción

La condicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera cuando el segundo enunciado sea verdadero o tenga el mismo valor de verdad que el primero. Al primer enunciado involucrado se le llama antecedente y al segundo se le llama consecuente

Tabla de Verdad Condicional

La doble condicional o bincondicional es una conectiva lógica que enlaza dos enunciados dando como resultado una fórmula que será verdadera solamente cuando sus enunciados componentes tienen el mismo valor de verdad

Tabla de Verdad Bicondicional